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    初三二次函數(shù)萬能口訣 二次函數(shù)的應(yīng)用)

    hello大家好,我是城鄉(xiāng)經(jīng)濟網(wǎng)小晟來為大家解答以上問題,初三二次函數(shù)萬能口訣,二次函數(shù)的應(yīng)用)很多人還不知道,現(xiàn)在讓我們一起來看看吧!

    備戰(zhàn)2020年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)——二次函數(shù)(壓軸題專項),我來為大家科普一下關(guān)于初三二次函數(shù)萬能口訣?以下內(nèi)容希望對你有幫助!

    初三二次函數(shù)萬能口訣


    (資料圖片)

    備戰(zhàn)2020年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)——二次函數(shù)(壓軸題專項)

    1、【2019遂寧中考】如圖,頂點為P(3,3)的二次函數(shù)圖象與x軸交于點A(6,0),點B在該圖象上,OB交其對稱軸l于點M,點M、N關(guān)于點P對稱,連接BN、ON.

    (1)求該二次函數(shù)的關(guān)系式.

    (2)若點B在對稱軸l右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運動,請解答下列問題:

    ①連接OP,當(dāng)OP=MN時,請判斷△NOB的形狀,并求出此時點B的坐標(biāo).

    ②求證:∠BNM=∠ONM.

    2、如圖,直線y=-x+n交x軸于點A,交y軸于點C(0,4),拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A,交y軸于點B(0,-2),點P為拋物線上一個動點,過點P作x軸的垂線PD,過點B作BD⊥PD于點D,連接PB,設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m.

    (1)求拋物線的解析式;

    (2)當(dāng)△BDP為等腰直角三角形時,求線段PD的長.

    3、如圖,點O是坐標(biāo)原點,點A(n,0)是x軸上一動點(n<0)以AO為一邊作矩形AOBC,點C在第二象限,且OB=2OA.矩形AOBC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得矩形AGDE.過點A的直線y=kx+m交y軸于點F,F(xiàn)B=FA.拋物線y=ax2+bx+c過點E、F、G且和直線AF交于點H,過點H作HM⊥x軸,垂足為M.

    (1)求k的值;

    (2)點A位置改變時,△AMH的面積和矩形AOBC的面積的比值是否改變?說明你的理由.

    4、已知拋物線y=x2+(2m-1)x-2m(m>0.5)的最低點的縱坐標(biāo)為-4.

    (1) 求拋物線的解析式;

    (2) 如圖1,拋物線與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,D為拋物線上的一點,BD平分四邊形ABCD的面積,求點D的坐標(biāo);

    (3) 如圖2,平移拋物線y=x2+(2m-1)x-2m,使其頂點為坐標(biāo)原點,直線y=-2上有一動點P,

    過點P作兩條直線,分別與拋物線有唯一的公共點E、F(直線PE、PF不與y軸平行),

    求證:直線EF恒過某一定點.

    5、如圖1,點A是直線y=kx(k>0,且k為常數(shù))上一動點,以A為頂點的拋物線y=(x-h(huán))2+m交直線y=x于另一點E,交y軸于點F,拋物線的對稱軸交x軸于點B,交直線EF于點C.(點A,E,F(xiàn)兩兩不重合)

    (1)請寫出h與m之間的關(guān)系;(用含k的式子表示)

    (2)當(dāng)點A運動到使EF與x軸平行時(如圖2),求線段AC與OF的比值.

    圖1     圖2

    6、已知直線y=x-2t與拋物線y=a(x-t)2+k(a>0,t≥0,a、t、k為已知數(shù)),在t=2時,直線剛好經(jīng)過拋物線的頂點.

    (1)求k的值;

    (2)t由小變大時,兩函數(shù)值之間大小不斷發(fā)生改變,特別當(dāng)t大于正數(shù)m時,無論自變量x取何值,y=x-2t的值總小于y=a(x-t)2+k的值,

    試求a與m的關(guān)系式;

    (3)當(dāng)0≤t<m時,設(shè)直線與拋物線的兩個交點分別為A、B,在a為定值時,線段AB的長度是否存在最大值,若有,請求出相應(yīng)的t的取值,若沒有,請說明理由.

    7、如圖,已知矩形ABCO在坐標(biāo)系的第一象限,它的長AO是寬OC的倍,且有兩邊在坐標(biāo)軸上.將△ACO沿對角線AC翻折的△ACP,P點落在經(jīng)過矩形ABCO四個頂點的⊙E上,⊙E的半徑為R.

    (1)用R的式子表示點B的坐標(biāo);

    (2)若拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過P、A兩點,請你判斷點C是否在此拋物線上;

    (3)若(2)中的拋物線的頂點為Q,該拋物線與x軸的另一個交點為M,那么直線OB將△AMQ的面積分為兩個部分的比值k是否是一個定值?如果不是,請說明理由;如果是,請求出其比值k.

    8、如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=-x+m(m為大于0的常數(shù))與x軸相交于點A,與y軸相交于點C,開口向下的拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A,C兩點,與x軸相交于另一點B,以AB為直徑的⊙M經(jīng)過點C.

    (1)直接寫出點A,C的坐標(biāo)(用含m的式子表示);

    (2)求ac的值;

    (3)若直線l平行于AC,且與拋物線y=ax2+bx+c有且只有一個公共點P,連接PA,PC,當(dāng)△PAC的面積等于4時,求⊙M與拋物線y=ax2+bx+c的交點坐標(biāo).

    9、如圖1,拋物線y=ax2﹣9ax﹣36a(a≠0)與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,且OC=OA,點P是拋物線上的一個動點,過點P作PE⊥x軸于點E,交直線BC于點D,連接PC.

    (1)求拋物線的解析式;

    (2)如圖2,當(dāng)動點P只在第一象限的拋物線上運動時,連接PB,試問△PCB的面積是否有最大值?如果有,請求出其最大值,如果沒有,請說明理由.

    (3)當(dāng)點P在拋物線上運動時,將△CPD沿直線CP翻折,點D的對應(yīng)點為點Q,試問,四邊形CDPQ是否能成為菱形?如果能,請直接寫出點P的坐標(biāo);如果不能,請說明理由.

    參考答案

    1、【2019遂寧中考】如圖,頂點為P(3,3)的二次函數(shù)圖象與x軸交于點A(6,0),點B在該圖象上,OB交其對稱軸l于點M,點M、N關(guān)于點P對稱,連接BN、ON.

    (1)求該二次函數(shù)的關(guān)系式.

    (2)若點B在對稱軸l右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運動,請解答下列問題:

    ①連接OP,當(dāng)OP=MN時,請判斷△NOB的形狀,并求出此時點B的坐標(biāo).

    ②求證:∠BNM=∠ONM.

    【解析】(1)∵二次函數(shù)頂點為P(3,3)∴設(shè)頂點式y(tǒng)=a(x﹣3)2 3∵二次函數(shù)圖象過點A(6,0)

    ∴(6﹣3)2a 3=0,解得:a=﹣ ∴二次函數(shù)的關(guān)系式為y=﹣(x﹣3)2 3=﹣x2 2x

    (2)設(shè)B(b,﹣b2 2b)(b>3)∴直線OB解析式為:y=(﹣b 2)x

    ∵OB交對稱軸l于點M∴當(dāng)xM=3時,yM=(﹣b 2)×3=﹣b 6

    ∴M(3,﹣b 6)∵點M、N關(guān)于點P對稱∴NP=MP=3﹣(﹣b 6)=b﹣3,∴yN=3 b﹣3=b,即N(3,b)

    ①∵OP=MN∴OP=MP∴=b﹣3解得:b=3 3

    ∴﹣b2 2b=﹣×(3 3)2 2×(3 3)=﹣3 ∴B(3 3,﹣3),N(3,3 3)

    ∴OB2=(3 3)2 (﹣3)2=36 18,ON2=32 (3 3)2=36 18,BN2=(3 3﹣3)2 (﹣3﹣3﹣3)2=72 36∴OB=ON,OB2 ON2=BN2

    ∴△NOB是等腰直角三角形,此時點B坐標(biāo)為(3 3,﹣3).

    ②證明:如圖,設(shè)直線BN與x軸交于點D ∵B(b,﹣b2 2b)、N(3,b)

    設(shè)直線BN解析式為y=kx d ∴ 解得:∴直線BN:y=﹣bx 2b

    當(dāng)y=0時,﹣bx 2b=0,解得:x=6∴D(6,0)∵C(3,0),NC⊥x軸

    ∴NC垂直平分OD ∴ND=NO ∴∠BNM=∠ONM

    2、如圖,直線y=-x+n交x軸于點A,交y軸于點C(0,4),拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A,交y軸于點B(0,-2),點P為拋物線上一個動點,過點P作x軸的垂線PD,過點B作BD⊥PD于點D,連接PB,設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m.

    (1)求拋物線的解析式;

    (2)當(dāng)△BDP為等腰直角三角形時,求線段PD的長.

    【解析】:(1)由直線y=-x+n過點

    C(0,4),得n=4,

    ∴y=-x+4.令y=0時,-x+4=0,解得x=3.∴A(3,0).∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A(3,0),B(0,-2),

    ∴∴

    ∴拋物線的解析式為y=x2-x-2.

    (2)∵點P的橫坐標(biāo)為m,

    ∴P,D(m,-2).

    若△BDP為等腰三角形,則PD=BD.

    ①當(dāng)點P在直線BD上方時,PD=m2-m.

    (ⅰ)若點P在y軸左側(cè),則m< 0,BD=-m.

    ∴m2-m=-m,∴m1=0(舍去),m2=(舍去).

    (ⅱ)若點P在y軸右側(cè),則m> 0,BD=m.

    ∴m2-m=m,∴m3=0(舍去),m4=.

    ②當(dāng)點P在直線BD下方時,m> 0,BD=m,PD=-m2+m.∴-m2+m=m,∴m5=0(舍去),m6=.

    綜上所述,當(dāng)m=或,△BDP為等腰直角三角形,此時PD的長為或.

    3、如圖,點O是坐標(biāo)原點,點A(n,0)是x軸上一動點(n<0)以AO為一邊作矩形AOBC,點C在第二象限,且OB=2OA.矩形AOBC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得矩形AGDE.過點A的直線y=kx+m交y軸于點F,F(xiàn)B=FA.拋物線y=ax2+bx+c過點E、F、G且和直線AF交于點H,過點H作HM⊥x軸,垂足為M.

    (1)求k的值;

    (2)點A位置改變時,△AMH的面積和矩形AOBC的面積的比值是否改變?說明你的理由.

    【解析】 (1)根據(jù)題意得到:E(3n,0),G(n,-n).當(dāng)x=0時,y=kx+m=m,∴點F坐標(biāo)為(0,m).

    ∵Rt△AOF中,AF2=m2+n2,

    ∵FB=AF,

    ∴m2+n2=(-2n-m)2,

    化簡,得m=-0.75n,

    對于y=kx+m,當(dāng)x=n時,y=0,

    ∴0=kn-0.75n,

    ∴k=0.75

    (2)∵拋物線y=ax2+bx+c過點E、F、G,

    解得a=,b=-,c=-0.75n.

    ∴拋物線為y=x2-x-0.75n.

    解方程組:

    得:x1=5n,y1=3n;x2=0,y2=-0.75n.

    ∴H坐標(biāo)(5n,3n),HM=-3n,AM=n-5n=-4n,

    ∴△AMH的面積=0.5×HM×AM=6n2.

    而矩形AOBC的面積=2n2,

    ∴△AMH的面積∶矩形AOBC的面積=3∶1,不隨著點A的位置的改變而改變.

    4、已知拋物線y=x2+(2m-1)x-2m(m>0.5)的最低點的縱坐標(biāo)為-4.

    (1) 求拋物線的解析式;

    (2) 如圖1,拋物線與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,D為拋物線上的一點,BD平分四邊形ABCD的面積,求點D的坐標(biāo);

    (3) 如圖2,平移拋物線y=x2+(2m-1)x-2m,使其頂點為坐標(biāo)原點,直線y=-2上有一動點P,

    過點P作兩條直線,分別與拋物線有唯一的公共點E、F(直線PE、PF不與y軸平行),

    求證:直線EF恒過某一定點.

    【解析】(1) y=x2+(2m-1)x-2m=(x+m-0.5)2-m2-m-0.25,∵最低點的縱坐標(biāo)為-4,

    ∴-m2-m-0.25=-4,即4m2+4m-15=0,∴m=1.5或-2.5. ∵m>0.5,∴m=1.5.

    ∴拋物線的解析式為y=x2+2x-3.

    (2) ∵y=x2+2x-3,∴A(-3,0),B(1,0),C(0,-3). 連AC交BD于E,

    過A作AM⊥BD于M,過C作CN⊥BD于N,

    由△ABD與△CBD面積相等,得AM=CN.

    于是易得△AEM≌△CEN(AAS),∴AE=CE,∴E(-1.5,-1.5).

    又B(1,0),∴直線BE的解析式為y=0.6x-0.6.

    由,解得D(-,-).

    (3) 設(shè)E(t,t2),F(xiàn)(n,n2),設(shè)直線PE為y=k1(x-t)+t2,

    由,得 x2-k1x+k1t-t2=0,△=k12-4(k1t-t2)=(k1-2t)2=0,∴k1=2t.

    ∴直線PE為y=2t(x-t)+t2,即y=2tx-t2. 令y=-2,得xP=.

    同理,設(shè)直線PF為y=k2(x-n)+n2,xP=,得:=,

    ∵t≠n,∴tn=-2.

    設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b,由,得x2-kx-b=0,

    ∴xE·xF=-b,即tn=-b,∴b=2. ∴直線EF為y=kx+2,過定點(0,2).

    5、如圖1,點A是直線y=kx(k>0,且k為常數(shù))上一動點,以A為頂點的拋物線y=(x-h(huán))2+m交直線y=x于另一點E,交y軸于點F,拋物線的對稱軸交x軸于點B,交直線EF于點C.(點A,E,F(xiàn)兩兩不重合)

    (1)請寫出h與m之間的關(guān)系;(用含k的式子表示)

    (2)當(dāng)點A運動到使EF與x軸平行時(如圖2),求線段AC與OF的比值.

    圖1    圖2

    【解析】 (1)∵拋物線頂點(h,m)在直線y=kx上,∴m=kh;

    (2)解方程組

    將②代入①得到:(x-h(huán))2+kh=kx,

    整理得:(x-h(huán))[(x-h(huán))-k]=0,

    解得:x1=h,x2=k+h.

    代入到方程②得y1=kh,y2=k2+hk.

    所以點E坐標(biāo)是(k+h,k2+hk)

    當(dāng)x=0時,y=(x-h(huán))2+m=h2+kh,

    ∴點F坐標(biāo)是(0,h2+kh)

    當(dāng)EF和x軸平行時,點E,F(xiàn)的縱坐標(biāo)相等,

    即k2+kh=h2+kh

    解得:h=k(h=-k舍去,否則E,F(xiàn),O重合)

    此時點E(2k,2k2),F(xiàn)(0,2k2),C(k,2k2),A(k,k2)

    ∴AC∶OF=k2∶2k2=1∶2

    6、已知直線y=x-2t與拋物線y=a(x-t)2+k(a>0,t≥0,a、t、k為已知數(shù)),在t=2時,直線剛好經(jīng)過拋物線的頂點.

    (1)求k的值;

    (2)t由小變大時,兩函數(shù)值之間大小不斷發(fā)生改變,特別當(dāng)t大于正數(shù)m時,無論自變量x取何值,y=x-2t的值總小于y=a(x-t)2+k的值,

    試求a與m的關(guān)系式;

    (3)當(dāng)0≤t<m時,設(shè)直線與拋物線的兩個交點分別為A、B,在a為定值時,線段AB的長度是否存在最大值,若有,請求出相應(yīng)的t的取值,若沒有,請說明理由.

    【解析】 (1)由題意,t=2時,直線剛好經(jīng)過拋物線的頂點.

    而此時直線解析式為y=x-4,

    對稱軸坐標(biāo)為直線x=2.

    易得k=-2.

    (2)當(dāng)t>m時,無論自變量x取何值,一次函數(shù)的值總小于二次函數(shù)的值,

    說明當(dāng)t=m時,直線與拋物線有且只有一個公共點.

    可設(shè)此時直線與拋物線解析式分別為y=x-2m和y=a(x-m)2-2,聯(lián)立消去y,得:

    ax2-(2am+1)x+am2-2+2m=0,

    由Δ=0得:8a+1-4am=0.

    (3)設(shè)A(x1,y1),B(x1,y1),坐標(biāo)系內(nèi)構(gòu)造直角三角形后易知,

    AB=

    聯(lián)立直線與拋物線解析式消去y,得:ax2-(2at+1)x+at2-2+2t=0.

    由求根公式可知:

    ==,

    AB==.

    由于a為定值且a>0,所以-4a<0,由于1,8a,、均為正,

    從而t=0時,AB=最大.

    7、如圖,已知矩形ABCO在坐標(biāo)系的第一象限,它的長AO是寬OC的倍,且有兩邊在坐標(biāo)軸上.將△ACO沿對角線AC翻折的△ACP,P點落在經(jīng)過矩形ABCO四個頂點的⊙E上,⊙E的半徑為R.

    (1)用R的式子表示點B的坐標(biāo);

    (2)若拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過P、A兩點,請你判斷點C是否在此拋物線上;

    (3)若(2)中的拋物線的頂點為Q,該拋物線與x軸的另一個交點為M,那么直線OB將△AMQ的面積分為兩個部分的比值k是否是一個定值?如果不是,請說明理由;如果是,請求出其比值k.

    【解析】 (1)點B坐標(biāo)為(R,R).

    (2)易求點P坐標(biāo)為,點A坐標(biāo)為(R,0),則:

    解得

    ∴拋物線的解析式為:y=- x2+x+R.

    由于點C坐標(biāo)為(0,R),因其正好為拋物線與y軸的交點,故點C在拋物線上.

    (3)如圖,由頂點坐標(biāo)公式易求得Q點坐標(biāo)為,令y=0,可解得M點的坐標(biāo)為,從而S△AMQ==.

    又易求OB解析式為y=x.

    設(shè)AQ解析式為y=kx+b,則:

    解得

    ∴設(shè)AQ解析式為y=-x+

    聯(lián)立AQ與OB的解析式解得交點N的坐標(biāo)為.

    從而易求S△AON=·R·=.

    ∴=÷=.

    直線OB將△AMQ的面積分為兩個部分的比值k是一個定值,且k=或者.

    8、如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=-x+m(m為大于0的常數(shù))與x軸相交于點A,與y軸相交于點C,開口向下的拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A,C兩點,與x軸相交于另一點B,以AB為直徑的⊙M經(jīng)過點C.

    (1)直接寫出點A,C的坐標(biāo)(用含m的式子表示);

    (2)求ac的值;

    (3)若直線l平行于AC,且與拋物線y=ax2+bx+c有且只有一個公共點P,連接PA,PC,當(dāng)△PAC的面積等于4時,求⊙M與拋物線y=ax2+bx+c的交點坐標(biāo).

    【解析】 (1)點A(2m,0),C(0,m);

    (2)∵以AB為直徑的⊙M經(jīng)過點C,

    ∴∠ACB=90°.

    可證得,△BOC∽△COA,∴OB∶OC=OC∶OA.

    ∵OA=2m,OC=m,∴OB===m.

    ∴點B(-m,0).

    將點A(2m,0),B(-m,0),C(0,m)的坐標(biāo)分別代入y=ax2+bx+c,

    解得a=-,b=,c=m.

    ∴拋物線的解析式為:y=-x2+x+m,ac=(-)×m=-1.

    (3)過點P作PH⊥x軸交AC于點E,交x軸于點H,過點C作CF⊥PH,垂足為F.

    ∵直線l平行于AC,設(shè)l的解析式為:

    y=-x+n.

    代入拋物線的解析式并整理,得-x2+2x+m-n=0.

    ∵l與拋物線y=-x2+x+m有且只有一個公共點P,

    ∴Δ=22-4(-)(m-n)=0.解得n=2m.

    ∴l(xiāng)的解析式為:y=-x+2m.

    S△PAC=S△PCE+S△PAE=PE×CF+PE×AH=PE×AO.

    ∵AO=2m,PE=2m-m=m.

    ∴S△PAC=PE×AO=m×2m=4.

    解得m=±2.∵m>0,∴m=2.

    ∴拋物線的解析式為:y=-x2+x+2.

    ∵⊙M與拋物線的一個交點C(0,2)的縱坐標(biāo)為2,令-x2+x+2=2.

    解得x=0或x=3.

    ∴⊙M與拋物線y=ax2+bx+c的交點坐標(biāo)為:A(4,0),B(-1,0),C(0,2)和C1(3,2).

    本文就為大家講解到這里,希望對大家有所幫助。

    責(zé)任編輯:Rex_26

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